A matematikai fogalmak értelmezése és használata elvont gondolkodást igényel, hiszen már a számok koncepciója sem egy kézzel fogható dolog. S többi elvont dologhoz hasonlóan, ez a folyamat is emberi agykapacitást igényel. Ennek megfelelően a tranzitivitás matematikai értelmezésének vizsgálata alacsonyabb gerincesekben eleve kudarcra van ítélve. Ugyanakkor prózai és kézzelfogható körülmények között egyes hal fajok mégis képesek valami hasonló dolog értelmezésére.

Ez a hasonló jelenség az ún. tranzitív következtetés (transitive inference), ami abban nyilvánul meg, hogy egy kívülálló hal, képes egy populáció teljes társadalmi hierarchiájának kikövetkeztetésére és fejben tartására, pusztán a páros rang-viszonyok ismeret alapján.

Na akkor, lássuk mit is rejt ez a rejtelmes megfogalmazás. Bő egy éve már írtam Russ Fernald kísérleteiről, amelyben azokat az élettani és molekuláris változásokat vizsgálta, amelyek a Haplochromis (Astatotilapia) burtoni sügérfaj hímjeiben következnek be mikor azok a szociális ranglétrán hirtelen előre- vagy visszalépnek. A sügér hímjei igen agresszíven védik a területüket, így gyakorlatilag csak náluk szignifikánsan méretesebb társaik képesek kiszorítani őket, a méretben azonosoknak esélyük sincs (a kisebbekről már nem is szólva).

Ezt kihasználva Fernaldék egy cseles kis akváriumot építettek. Közepén egy "szemlélődő" hal leledzett, szélein pedig négy, egyforma méretű hím (A, B, C, D) kisebb rekeszekben. A B halat az A rekeszébe rakva, utóbbi természetesen jól helybenhagyta a betolakodót, vagyis A erősebbnek bizonyult B-nél, röviden A>B. A műsort megismételték B és C, C és D, illetve D és E viszonylatában, azaz B>C, C>D ill. D>E. Ezt követően a korábbi "szemlélőt" olyan helyzetbe hozták, hogy választhatott, kinek a területére próbal betörni, A vagy E. Az esetek elsöprő többégében E-t választották, azaz "tudták", hogy E ellenében több esélyük van, mint a fölötte domináns A-val szemben.

De jelenti-e azt, hogy valóban fejükben volt a teljes hierarchija, azaz A>B>C>D>E ? Nem lehet, hogy csak arra emlékeztek, hogy A a maga páros harcában nyert, E pedig a sajátjában vesztett? Hogy erről megbizonyosodjanak, Fernaldék a fenti kísérlethez hasonlót játszottak el, csak A és E helyett B és D halakkal. B és D ugyanannyiszor nyert mint vesztett, vagyis tranzitív inferencia nélkül a "szemlélő" hal nem tudhatja eldönteni, melyikükkel éri meg jobban ujjat húzni. A válasz egyértelmű volt: egy kivételével minden "szemlélő" hal azonnal D-hez úszott be. Vagyis annak ellenére, hogy B és D közvetlen párharcát sosem látták, C-hez való viszonyuk alapján tudták, hogy B a domináns.

Mi lehet ennek a haszna valós környezetükben, pl. a Tanganyika-tóban? A halak eredeti élőhelye gyakran változik az erős hullámzás, áttrappoló vízilovak és más okok miatt. Így valószínűleg megéri emlékezni, hogy, amikor egy-egy ilyen zavarás után mindenki újból megpróbálja lefoglalni a maga kis territóriumát, kivel érdemes keménykedni és kivel szemben csak fölösleges energiapazarlás a csetepaté.  

Grosenick, L, Clement, TS, Fernald, RD (2007) Fish can infer social rank by observation alone. Nature 445: 429-432.